El trabajo de Leonhard Euler, en 1736, sobre el problema de los puentes de Königsberg es considerado como uno de los primeros resultados de la teoría de grafos. También se considera uno de los primeros resultados topológicos en geometría (que no depende de ninguna medida). Este ejemplo ilustra la profunda relación entre la teoría de grafos y la topología. En 1845 Gustav Kirchhoff publicó sus leyes de los circuitos para calcular el voltaje y la corriente en los circuitos eléctricos.
En 1852 Francis Guthrie planteó el problema de los cuatro colores que plantea si es posible, utilizando solamente cuatro colores, colorear cualquier mapa de países de tal forma que dos países vecinos nunca tengan el mismo color. Este problema, que no fue resuelto hasta un siglo después por Kenneth Appel y Wolfgang Haken, puede ser considerado como el nacimiento de la teoría de grafos. Al tratar de resolverlo, los matemáticos definieron términos y conceptos teóricos fundamentales de los grafos. (Fuente)
6.1 ELEMENTOS Y CARACTERÍSTICAS DE LOS GRAFOS
Un grafo (G) es un diagrama que consta de un conjunto de vértices (V) y un conjunto de lados (L).
Considérese el siguiente grafo:
A partir de esta figura se definen los siguientes elementos:
Vértices (nodos)
Se indican por medio de un pequeño círculo y se les asigna un número o letra. En el grafo anterior los vértices son V= {a,b,c,d}.
Lados (ramas o aristas)
Son las líneas que unen un vértice con otro y se les asigna una letra, un numero o una combinación de ambos. En el grafo anterior los lados son: L= {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Lados paralelos
Son aquellas aristas que tienen relación con un mismo par de vértices. En el grafo anterior los lados paralelos son: P={2,3}.
Lazo
Es aquella arista que sale de un vértice y regresa al mismo vértice. En el grafo anterior se tiene el lazo: A= {6}
Valencia de un vértice
Es el numero de lados que salen o entran a un vértice. En el grafo anterior las valencias de los vértices son:
Valencia (a)=2
Valencia (b)=4
Valencia (c)=2
Valencia (d)=3
Hay que observar como en el caso del vértice del lazo solo se considera una vez, entrada o salida pero no ambos.
6.1.1 COMPONENTES DE UN GRAFO
Aristas :
Son las líneas con las que se unen las aristas de un grafo y con la que se construyen también caminos. Si la arista carece de dirección se denota indistintamente {a, b} o {b, a}, siendo a y b los vértices que une. Si {a ,b} es una arista, a los vértices a y b se les llama sus extremos.
• Aristas Adyacentes: Se dice que dos aristas son adyacentes si convergen en el mismo vértice.
• Aristas Paralelas: Se dice que dos aristas son paralelas si vértice inicial y el final son el mismo.
• Aristas Cíclicas: Arista que parte de un vértice para entrar en el mismo.
• Cruce: Son dos aristas que cruzan en un punto.
Vértices :
Son los puntos o nodos con los que esta conformado un grafo. Llamaremos grado de un vértice al número de aristas de las que es extremo. Se dice que un vértice es `par' o `impar' según lo sea su grado.
• Vértices Adyacentes: si tenemos un par de vértices de un grafo (U, V) y si tenemos un arista que los une, entonces U y V son vértices adyacentes y se dice que U es el vértice inicial y V el vértice adyacente.
• Vértice Aislado: Es un vértice de grado cero.
• Vértice Terminal: Es un vértice de grado 1.
6.1.2 TIPOS DE GRAFOS
GRAFOS SIMPLES
Son aquellos grafos que no tienen lazos ni lados paralelos.
GRAFO COMPLETO DE N VÉRTICES (kn)
Es el grafo en donde cada vértice está relacionado con todos los demás sin lazos ni lados paralelos. Se indica como kn en donde n es el número de vértices del grafo.
La valencia en cada uno de los vértices de los grafos completos es (n – 1), y el numero de lados esta dado por la expresión
Núm. De lados = n(n – 1)
2
en donde n es el numero de vértices del grafo.
COMPLEMENTO DE UN GRAFO (G‘)
Es el grafo que le falta al grafo G, de forma que entre ambos formas de grafo completo de n vértices. Este grafo no tiene lazos ni ramas paralelas.
GRAFO BIPARTIDO
es el grafo que esta compuesta por dos conjuntos de vértices, A ={a1,a2, a3…, an} y B = {b1,b2,…, bm} en donde los elementos del conjunto B, pero entre los vértices de un mismo conjunto no existe arista que los una.
Una forma muy sencilla de saber si un grafo es bipartido es aplicar el hecho de que nunca tiene un ciclo de longitud impar, además de que debe cumplir con la característica mencionada anteriormente.
GRAFO BIPARTIDO COMPLETO (Kn, m)
Es el grafo que esta compuesto por dos conjuntos de vértices, uno de ellos A ={a1,a2, a3…, an} Y otro B= {b1,b2,…, bm), y en el cada vértice de A esta unido con todo los vértices de B, pero entre los vértices de un mismo conjunto no existe arista que los una. El grafo bipartido completo se indica como kn, m.
6.2 REPRESENTACIÓN DE LOS GRAFOS
Matriz de adyacencia
Dado un grafo G = (V, E) con n vértices {v1, ..., vn} su matriz de adyacencia es la matriz de orden n×n, A(G)=(aij) donde aijes el número de aristas que unen los vértices vi y vj. La matriz de adyacencia de un grafo es simétrica. Si un vértice es aislado entonces la correspondiente fila (columna) esta compuesta sólo por ceros. Si el grafo es simple entonces la matriz de adyacencia contiene solo ceros y unos (matriz binaria) y la diagonal esta compuesta sólo por ceros.
Matriz de incidencia
Dado un grafo simple G = (V, E) con n=|V| vértices {v1, ..., vn} y m=|E| aristas {e1, ..., em}, su matriz de incidencia es la matriz de orden nxm, B(G)=(bij), donde bij=1 si vi es incidente con ej ybij=0 en caso contrario. La matriz de incidencia sólo contiene ceros y unos (matriz binaria). Como cada arista incide exactamente en dos vértices, cada columna tiene exactamente dos unos. El número de unos que aparece en cada fila es igual al grado del vértice correspondiente. Una fila compuesta sólo por ceros corresponde a un vértice aislado.
6.2.1 MATEMÁTICA
En matemáticas y ciencias de la computación, la teoría de grafos, también llamada teoría de loas graficas estudia las propiedades de los grafos (también llamados graficas) Un grafo es un conjunto, no vacío, de objetos llamados vértices (o nodos) y una selección de partes de vértices llamados aristas.
6.2.2 COMPUTACIONAL
Existen diferentes formas de almacenar grafos en una computadora. La estructura de datos, usada depende de las características del grafo y el algoritmo usado para manipularlo. Entre las estructuras mas sencillas y usadas se encuentran las listas y las matrices y aunque frecuentemente se usa una combinación de ambos.
6.3 AlGORITMOS DE RECORRIDO Y BUSQUEDA
6.3.1 EL CAMINO MAS CORTO
El problema de los caminos más cortos es el problema que consiste en encontrar un camino entre dos vértices (o nodos) de tal manera que la suma de los pesos de las aristas que lo constituyen es mínima. Ahora bien, podemos emplear el algoritmo de Dijkstra para éstos casos, los pasos o procedimientos a seguir para éste algoritmo son los siguientes : Teniendo un grafo dirigido ponderado de N nodos no aislados, sea x el nodo inicial, un vector D de tamaño N guardará al final del algoritmo las distancias desde x al resto de los nodos.
1 Inicializar todas las distancias en D con un valor infinito relativo ya que son desconocidas al principio, exceptuando la de x que se debe colocar en 0 debido a que la distancia de x a x sería 0.
2 Sea a = x (tomamos a como nodo actual).
3 Recorremos todos los nodos adyacentes de a, excepto los nodos marcados, llamaremos a estos vi
4 Si la distancia desde x hasta va guardada en D es mayor que la distancia desde x hasta a, sumada a la distancia desde a hasta vi; esta se sustituye con la segunda nombrada.
5 Marcamos como completo el nodo a.
6 Tomamos como próximo nodo actual el de menor valor en D (puede hacerse almacenándolos valores en una cola de prioridad) y volvemos al paso 3 mientras existan nodos no marcados.
6.3.2 EN LO ANCHO
La búsqueda en anchura es otro procedimiento para visitar sistemáticamente todos los vértices de un grafo. Es adecuado especialmente para resolver problemas de optimización, en los que se deba elegir la mejor solución entre varias posibles. Al igual que en la búsqueda en profundidad se comienza en un vértice v (la raíz) que es el primer vértice activo. En el siguiente paso se etiquetan como visitados todos los vecinos del vértice activo que no han sido etiquetados. Se continúa etiquetando todos los vecinos de los hijos de v (que no hayan sido visitados aún). En este proceso nunca se visita un vértice dos veces por lo que se construye un grafo sin ciclos, que será un árbol
6.3.3 EN PROFUNDIDAD
En la búsqueda en profundidad se avanza de vértice en vértice, marcando cada vértice visitado. La búsqueda siempre avanza hacia un vértice no marcado, internándose “profundamente” en el grafo sin repetir ningún vértice. Cuando se alcanza un vértice cuyos vecinos han sido marcados, se retrocede al anterior vértice visitado y se avanza desde éste
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